En analyse, « Déterminer la nature de cette série », ou « Cette série est-elle convergente ? Il est très courant que vous soyez confronté à de telles questions. M. Prepa vous fournit une liste 5 conseils dans la série sur les mathématiques Ce qui vous permettra d’affronter ce type de questions le jour du concours !
Lire la suite : Obtenez 20/20 à chaque test de mathématiques (copies de support)
Mais avant d’utiliser ces astuces pour déterminer la nature de la chaîne, je vous conseille de vérifier au préalable ces 3 étapes :
- Vérifier si la limite du terme commun de la série tend vers 0. En effet : si la série ∑un converge, alors la limite de un est égal à 0. Ainsi, par contrapositive, si la limite de un est différent de 0, alors la série de termes normaux un Faites une différence.
- Vérifiez que la série que vous étudiez n’est pas une série de référence. Dans votre cours de séries, il existe 3 types de séries de référence : les séries géométriques, les séries exponentielles et les séries de Riemann.
- Vérifiez que vous ne pouvez pas augmenter ou diminuer la série que vous étudiez. En fait:
- S’il s’agit d’une série à termes positifs, vous pouvez facilement montrer que la somme partielle est croissante. Maintenant, si vous parvenez à augmenter la somme partielle (pour tout n), selon le théorème de convergence monotone, votre série converge.
- S’il s’agit d’une série avec des termes négatifs, vous pouvez facilement montrer que la somme partielle est décroissante. Maintenant, si vous parvenez à minimiser la somme partielle (pour tout n), alors selon le théorème de convergence monotone, votre série converge.
Conseil n°1 : pensez à utiliser des théorèmes de comparaison de séries
Dans votre cours sur les séries, il y a 3 théorèmes de comparaison :
- Théorème de comparaison des inégalités
- Théorème de comparaison d’égalité
- Théorème de comparaison négligeable
Ces théorèmes sont très utiles pour déterminer la nature des séries ! Même s’il peut parfois être difficile d’identifier quel théorème utiliser, vous y parviendrez plus facilement avec un peu de pratique !
Je vous propose 2 exemples :
Dans ce premier exemple, il semble difficile d’utiliser le théorème de comparaison par inégalité ou négation. On choisit donc le théorème de comparaison par équivalence, qui est adapté ici !
Ce deuxième exemple est une question très classique dans la série, notamment dans les matières EDHEC et emlyon. Lorsque vous devez gérer une série avec « la puissance moins quelque chose » en termes généraux, pensez à cette astuce ! Il faut utiliser le théorème de croissance comparée avec n2 (ou noui avec y >1), puis utilisez le théorème de comparaison d’insignifiance avec la série de Riemann convergente !
Conseil n°2 : pensez à utiliser des joints télescopiques
Une « somme télescopique » est une somme dont les termes s’annulent par étapes. Par exemple, (un1– un0) + (un2– un1) = un2-UN0
C (Unn) est une suite numérique, la série télescopique correspondante est une série de termes normauxn+1 – unn. Nous avons alors :
Ainsi, la convergence de la série télescopique ∑(an+1 – unn) équivaut à la convergence de la suite (an) :
Par exemple:
Conseil n°3 : Vérifiez si la série est une série alternative
Cette astuce est bien spécifique aux séries alternées, c’est à dire des séries de la forme :
Dans ce cas, le La série converge tout le temps ! Cependant, ce n’est pas un théorème dans le programme, c’est Doit toujours être performant.
Les performances sont très rapides :
Comme vous pouvez le voir ici, la démonstration nécessite de connaître la définition de 2 séquences adjacentes. Pour rappel, 2 séquences sont dites adjacentes lorsque :
- Une des deux séquences est croissante
- Un autre est en déclin
- La limite de différence de 2 séquences en +∞ est nulle.
Conseil n°4 : pensez aux comparaisons série-intégrales
Le principe de la comparaison série-intégrale :
Donc ici, si nous connaissons la primitive de f, nous pouvons comparer les sommes partielles à la primitive. En faisant tendre n vers +∞, on peut alors comparer la série à la limite en +∞ de cette primitive. Autrement dit, on peut déterminer la nature de la série étudiée en la comparant à la limite de la primitive de f en +∞.
Pour que ce soit clair, voici un exemple classique :
Cette méthode est très classique. Pour preuve, nous avons dû l’utiliser cette année pour l’examen ECRICOME et HEC/ESCP Math II en Maths Avancées !
Lire la suite : Maths 2 Aprofondies ESCP/HEC 2024 – Analyse de la matière
Astuce n°5 : Pensez à la technique du « +1 -1 »
Cette astuce est très utile dans le cas de séries de formulaires :
Vraiment, merci pour cette astuce, Vous pouvez facilement revenir à la série géométrique classique !
Voici un exemple d’utilisation :
Ici l’exemple est très détaillé pour que les étapes puissent être comprises : dans la copie, vous pouvez sauter certaines lignes de calculs !